Nos azulejos portugueses, nas borboletas, nas obras de Escher, nas fachadas dos museus… e até nas tuas pegadas na praia.
🔍 Será que consegues encontrá-las?
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👇 Passa o rato (ou clica) para descobrir a isometria
Cada imagem esconde uma transformação geométrica - descobre qual é!
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Agrupamento de Escolas Pedro Eanes Lobato
Vetores e Isometrias — 8.º Ano
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🔷 Vetores e Isometrias - visão geral
Esta APP começa pela observação de isometrias no quotidiano e avança, depois, para a construção geométrica com vetores.
Ideia central: uma isometria mantém a forma e a dimensão das figuras. A translação, a reflexão, a rotação e a reflexão deslizante são estudadas com apoio visual, malha quadriculada e linguagem adequada ao 8.º ano.
🧭 VetoresDireção, sentido e comprimento.
➡️ TranslaçõesImagem de uma figura por um vetor.
🪞 ReflexõesEquidistância e perpendicularidade ao eixo.
🧩 FrisosPadrões com simetrias de translação.
Definição formal
Uma isometria é uma transformação geométrica que conserva as distâncias, as amplitudes dos ângulos, a forma e a dimensão das figuras.
Por isso, a imagem de uma figura por uma isometria é geometricamente igual à figura inicial.
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🧠 Raciocínio matemáticoVais justificar relações entre figuras, pontos, vetores e simetrias.
🔎 Pensamento críticoVais observar padrões, testar conjeturas e corrigir ideias com base no feedback.
💻 Literacia digitalVais usar simuladores e representações dinâmicas para aprender de forma autónoma.
🗣️ Comunicação matemáticaVais usar linguagem e notação matemática correta para descrever transformações.
📍 Segmentos de reta orientados
Definição
Um segmento de reta orientado é um segmento de reta ao qual foi atribuído um sentido.
Para representar o segmento de reta cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto B, utiliza-se a notação [A, B].
Se A ≠ B, então o segmento de reta [AB] é igual ao segmento de reta [BA], mas o segmento de reta orientado [A, B] é diferente do segmento de reta orientado [B, A].
Equipolência
Dois segmentos de reta orientados com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento dizem-se equipolentes.
👉 Verifica se sabes - Segmentos orientados
Os segmentos orientados [A, B] e [C, D] têm a mesma direção e o mesmo sentido, mas o comprimento de [C, D] é metade do comprimento de [A, B]. Estes segmentos são:
✅ Muito bem!
🌟 Correto! Para serem equipolentes, os segmentos orientados precisam de ter simultaneamente a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Atenção (opção A e B): ter a mesma direção e sentido não é suficiente - o comprimento também tem de ser igual.
Atenção (opção D): a posição no plano não é um critério de equipolência - um representante pode estar em qualquer posição.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
Os segmentos orientados [A, B] e [B, A] têm a mesma direção e o mesmo comprimento. São equipolentes?
✅ Correto! O sentido é diferente.
🌟 Muito bem! A equipolência exige três condições: mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.
Os segmentos [A, B] e [B, A] têm a mesma direção (ambos sobre a reta AB) e o mesmo comprimento — mas sentidos opostos.
Conclusão:Não são equipolentes porque o sentido é diferente.
Atenção (opção D): a direção é a mesma — ambos pertencem à reta AB. O que difere é o sentido, não a direção.
🧭 Vetores
Definição
Um vetor é o conjunto de todos os segmentos de reta orientados equipolentes.
Pode representar-se por dois pontos - AB - ou por uma letra minúscula - u.
Direção
A direção é determinada pela reta suporte do vetor (a vermelho).
Sentido
O sentido é indicado pela ponta da seta. Dois vetores com a mesma direção podem ter sentidos opostos.
Comprimento
O comprimento é a medida do segmento que representa o vetor.
Vetores colineares
Dois vetores são colineares quando têm a mesma direção — na mesma reta ou em retas paralelas.
Vetores simétricos
Vetores simétricos: mesma direção, mesmo comprimento, sentidos opostos. O simétrico de u é −u.
Vetor nulo
O vetor nulo tem comprimento zero: a origem coincide com a extremidade. Não tem direção nem sentido. Representa-se por 0 (bold, para distinguir do número zero).
📐 Direção, sentido e colinearidade - em detalhe
Mesma direção - sentidos opostos
Os vetores u, v e w têm a mesma direção e o mesmo sentido. O vetor w tem a mesma direção mas sentido oposto.
Segmentos orientados equipolentes - o mesmo vetor, vários representantes
Os três segmentos orientados [A,B], [C,D] e [E,F] têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento: são equipolentes e representam o mesmo vetor.
🧠 Verifica se sabes - Vetores
Questão 1. Observa os dois vetores representados. Os vetores apresentados têm:
✅ Muito bem!
🌟 Correto! Os dois vetores estão sobre retas paralelas - têm a mesma direção.
As setas apontam em sentidos contrários - têm sentidos opostos.
⚠️ Atenção: a direção depende da reta suporte, não da posição do vetor no plano. Dois vetores paralelos têm a mesma direção.
Questão 2. Estão representados três segmentos orientados com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Quantos vetores diferentes estão representados?
✅ Muito bem!
🌟 Correto! Os três segmentos orientados [A,B], [C,D] e [E,F] são equipolentes.
Equipolentes = mesma direção + mesmo sentido + mesmo comprimento.
Um vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes - portanto existe apenas um único vetor, com três representantes diferentes no plano.
Questão 3. Os vetores a e b estão em retas paralelas distintas, mas com a mesma direção. Podem ser colineares?
✅ Correto!
🌟 Muito bem! Dois vetores são colineares sempre que têm a mesma direção.
A colinearidade não exige que os vetores estejam na mesma reta - basta que as suas retas suporte sejam paralelas (ou coincidentes).
⚠️ Atenção (opção B): a posição no plano não determina a colinearidade - a direção é que determina.
➕ Soma de um ponto com um vetor
Considera um ponto P e um vetor u. Existe um único ponto Q tal que u = PQ.
Definição
Diz-se que Q é a soma do ponto P com o vetor u, ou seja, Q = P + u.
Exemplo - quadrado [ABCD] dividido em quatro quadrados iguais
Com os pontos A, B, C, D, E, F, G, H identificados na figura:
A + AC = C
B + BH = H
G + BE = G + GD = D (pois BE = GD)
👉 Verifica se sabes - Soma ponto + vetor
Num quadrado [ABCD] de lado 2, com E o centro, qual é o resultado de A + AE?
✅ Correto!
🌟 Bem pensado! A + AE é o ponto Q tal que AE = AQ.
Como AE = AE, o ponto procurado é exatamente E.
Em geral: P + PQ = Q.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
Num quadrado [ABCD], com A no canto superior esquerdo e C no canto inferior direito, sabe-se que A + v = C. Qual é o vetor v?
✅ Correto!
🌟 Bem pensado! Por definição: se P + u = Q, então u = PQ.
Aqui, A + v = C, portanto v = AC — o vetor com origem em A e extremidade em C.
Atenção (opção B):CA é o vetor simétrico de AC — tem sentido oposto.
Atenção (opções C e D):AE e EC têm cada um metade do comprimento de AC. A sua soma é AC, mas individualmente não chegam de A a C.
➕ Adição de vetores
A adição de dois vetores obtém-se por construção geométrica na malha quadriculada, usando a regra do triângulo ou a regra do paralelogramo.
Regra do triângulo
Desenha u. Onde terminau, desenha v. O vetor soma u + v une a origem de u à extremidade de v.
🔬 Simulador — Adição de vetores
Arrasta O — origem de uArrasta P — extremidade de u / origem de vArrasta Q — extremidade de v
Regra do triângulo:
O vetor soma u + v (verde tracejado) une a origem de u à extremidade de v.
Cada vetor tem uma única seta — a seta terminal indica o sentido.
Regra do paralelogramo
Desenha u e v com a mesma origem. Traça paralelas a cada vetor pela extremidade do outro. O vetor soma u + v é a diagonal do paralelogramo a partir da origem comum.
🔬 Simulador — Regra do paralelogramo
Arrasta os pontos P e R para alterar os vetores
u e v.
O vetor soma parte sempre da mesma origem O.
🔵 Arrasta P — extremidade de u🔴 Arrasta R — extremidade de v
Adição de um vetor e do seu simétrico
A adição de dois vetores simétricos dá como resultado o vetor nulo: u + (−u) = 0.
👉 Verifica se sabes - Adição de vetores
Para aplicar a regra do triângulo a u + v, qual é a condição que tem de se verificar na construção?
✅ Correto!
🌟 Muito bem! Na regra do triângulo, "encadeias" os vetores: a extremidade do primeiro é a origem do segundo.
O vetor soma vai da origem do primeiro à extremidade do segundo.
⚠️ Atenção (opção A): a mesma origem é a condição da regra do paralelogramo, não do triângulo.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
Na regra do paralelogramo, os vetores u e v são construídos de que forma?
✅ Correto! Mesma origem, diagonal é a soma.
🌟 Muito bem! Na regra do paralelogramo, u e v partem da mesma origem.
Traçam-se paralelas a cada vetor a partir da extremidade do outro — formando um paralelogramo.
O vetor soma u + v é a diagonal do paralelogramo, com origem na origem comum dos dois vetores.
Atenção (opção A): essa é a descrição da regra do triângulo, não da regra do paralelogramo.
➡️ Translação
Definição
Uma translação associada ao vetor u é uma transformação geométrica que, a cada ponto P, faz corresponder o ponto P + u.
Representa-se por Tu. Se P' é a imagem de P, escreve-se P' = Tu(P).
Propriedade essencial: a translação não altera a forma nem a dimensão da figura. Mantém comprimentos e amplitudes.
Se [A'B'C'] é a imagem de [ABC] pela translação de vetor u:
u = AA' = BB' = CC' — todos os pontos se deslocam pelo mesmo vetor.
Translação na malha quadriculada
Todos os pontos da figura se deslocam com a mesma direção, sentido e comprimento: a translação associada ao vetor u.
🔬 Simulador - Translação por vetor
🔵 Arrasta A ou B - move o girassol original🟡 Arrasta D ou E - muda o vetor u
Arrasta os pontos para explorares a translação associada ao vetor vetor u = DE.
🖱️ Interage diretamente com o simulador - arrasta os pontos A, B, D e E para explorares a translação! (Criado pela professora no GeoGebra.)
👉 Verifica se sabes - Translação
O triângulo [A'B'C'] é a imagem do triângulo [ABC] pela translação associada ao vetor u. Qual das afirmações é verdadeira?
✅ Correto!
🌟 Excelente! Numa translação, todos os pontos se deslocam pelo mesmo vetor: u = AA' = BB' = CC'.
A translação é uma isometria - conserva forma, dimensão, comprimentos e amplitudes.
⚠️ Atenção (opção A): a forma e a dimensão ficam iguais - é precisamente isso que define uma isometria.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
O triângulo [A'B'C'] é a imagem do triângulo [ABC] pela translação associada ao vetor u. Qual das seguintes afirmações é falsa?
✅ Correto! A área não se altera numa translação.
🌟 Muito bem! A translação é uma isometria — não altera a forma nem a dimensão da figura.
Passo 1 — o que se conserva numa translação: comprimentos dos lados ✓, amplitudes dos ângulos ✓, área ✓.
Passo 2 — o que muda: a posição da figura no plano — todos os pontos se deslocam pelo mesmo vetor u.
Passo 3 — a afirmação C é falsa: a área do triângulo imagem é igual (não o dobro) à área do triângulo original.
Atenção (opção D):AA' = BB' = CC' = u é verdadeiro — é a própria definição de translação.
🔗 Composição de translações
Quando se aplica uma translação de vetor u e, de seguida, uma translação de vetor v, o resultado é uma translação de vetor u + v.
Definição
A translação composta Tv ∘ Tu é uma transformação geométrica que a cada ponto P faz corresponder o ponto (P + u) + v. Se P' é a imagem de P por essa translação, escreve-se P' = Tv ∘ Tu(P).
Propriedade
Tv ∘ Tu = Tu+v — a composição de duas translações é sempre uma translação pelo vetor soma.
📐 Regra do triângulo — interpretação vetorial
A composição de duas translações equivale a uma única translação definida pelo vetor soma u + v, pela regra do triângulo:
o vetor soma parte de A, passa por B e chega a C.
Conclusão: A composição de duas translações equivale a uma única translação definida pelo vetor soma
u + v.
A figura final [A''B''C''] é exatamente a mesma quer se aplique
Tu seguida de Tv, quer se aplique diretamente Tu+v.
🔬 Simulador — Composição de translações
👆 Arrasta a flor azul para reposicionar a figura inicial.
Arrasta as pontas vermelha (u) e azul (v) para definir a direção, sentido e comprimento de cada vetor.
u — 1.ª translação
v — 2.ª translação
u + v — direta
Tv ∘ Tu = Tu+v — a composição de duas translações equivale a uma única translação de vetor u + v.
👉 Verifica se sabes - Composição de translações
O triângulo [A''B''C''] é a imagem do triângulo [ABC] pela composição Tv ∘ Tu. A que translação direta é equivalente esta composição?
✅ Correto!
🌟 Muito bem! Tv ∘ Tu = Tu+v.
Aplicar primeiro Tu e depois Tv equivale a aplicar uma única translação de vetor u + v.
A composição de duas translações é sempre uma translação, com vetor igual à soma dos dois vetores.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
A composição Tv ∘ Tu é equivalente a Tu ∘ Tv?
✅ Correto! A composição de translações é comutativa.
🌟 Muito bem! Como Tv ∘ Tu = Tu+v e Tu ∘ Tv = Tv+u...
...e a adição de vetores é comutativa (u+v = v+u), as duas composições são sempre iguais.
Conclusão: Tv ∘ Tu = Tu ∘ Tv — sempre, independentemente da direção dos vetores.
🔺 Translações em malha triangular — Exercício global
De acordo com as Aprendizagens Essenciais: aplica vetores, adição de vetores, translação e composição de translações num contexto geométrico concreto — a malha triangular.
Malha de triângulos equiláteros iguais — os pontos assinalados são vértices da malha.
6.1 Completa — Adição de vetores
💡 Usa a regra do triângulo: u + v = vetor do início de u ao fim de v. O vetor soma pode ter vários representantes equipolentes.
a)AD + DG = □
— escolhe —▾
AH
AG
AD
GA
✅ Correto! Pela regra do triângulo: A → D → G
🌟 Muito bem! Aplica a regra do triângulo: partes de A, passas por D e chegas a G.
AD + DG = AG.
⚠️ Representantes equipolentes: BH, CI, DJ, EK, FL, GM, HN, IO, JP, KQ, LR — todos com a mesma direção, sentido e comprimento.
b)HJ + JK = □
— escolhe —▾
HJ
HL
HK
HI
✅ Correto! HJ + JK = HK pela regra do triângulo
🌟 Muito bem!HJ = 2 passos horizontais; JK = 1 passo.
Soma: 2 + 1 = 3 passos horizontais → HK.
⚠️ Representantes equipolentes: AD, BE, CF, GJ, IL, MQ, NR — todos com 3 passos horizontais.
c)LM + MF = □
— escolhe —▾
LF
MF
FL
LM
✅ Correto! LM + MF = LF pela regra do triângulo
🌟 Excelente! Pela regra do triângulo: L → M → F, e o vetor soma é LF.
Embora LM e MF sejam grandes, a sua soma resulta em apenas 1 passo diagonal para cima-direita.
💡 Vetor composto: AB + GN = AI — confirma: A→I ✓, B→J ✓, C→K ✓, D→L ✓.
🪞 Reflexão
Definição
Uma reflexão em relação a uma reta transforma uma figura numa figura com igual forma e dimensão.
Cada ponto da figura original e o ponto correspondente da figura refletida ficam à mesma distância do eixo de reflexão.
Eixo de reflexãoReta que funciona como espelho.
EquidistânciaO ponto e a sua imagem ficam à mesma distância do eixo.
PerpendicularidadeO segmento que une um ponto à sua imagem é perpendicular ao eixo.
ConservaçãoMantém comprimentos e amplitudes.
Reflexão axial: equidistância e perpendicularidade
Cada ponto e a sua imagem estão à mesma distância do eixo r, em lados opostos, sobre uma reta perpendicular ao eixo.
🔬 Simulador - Reflexão de eixo f
🔵 Arrasta D ou E - muda a reta f🔵 Arrasta A - move o girassol original
Arrasta D e E para mudares o eixo de reflexão f. O girassol imagem fica do lado oposto ao original.
🧭 Construção guiada — imagem de um ponto por reflexão axial
Para construir a imagem de um ponto A por reflexão no eixo r, não basta “virar” a figura. É necessário garantir duas propriedades: perpendicularidade e equidistância.
Traça a reta perpendicular ao eixo r que passa pelo ponto A.
Identifica o ponto onde essa perpendicular encontra o eixo de reflexão.
Marca A' do outro lado do eixo, à mesma distância a que A está do eixo.
Confirma: o eixo r é mediatriz do segmento [AA'].
👉 Verifica se sabes - Reflexão
Numa reflexão de eixo r, o ponto A e o seu simétrico A' verificam que:
✅ Correto!
🌟 Muito bem! O eixo r é a mediatriz do segmento [AA'].
Equidistância: A e A' ficam à mesma distância de r.
Perpendicularidade: a reta que contém [AA'] é perpendicular ao eixo r.
⚠️ Atenção (opção A): se [AA'] fosse paralelo ao eixo, A e A' seriam o mesmo ponto - o que só acontece quando A está sobre o eixo.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
O ponto P pertence ao eixo de reflexão r. Qual é a imagem de P pela reflexão de eixo r?
✅ Correto! Um ponto do eixo é a sua própria imagem.
🌟 Muito bem! Por definição, numa reflexão de eixo r, P e a sua imagem P' estão à mesma distância de r.
Se P está sobre o eixo, essa distância é zero.
Logo, P' também tem de estar a distância zero de r — ou seja, P' = P.
Conclusão: todo o ponto pertencente ao eixo de reflexão é invariante — a sua imagem é ele próprio.
🔄 Rotação
Definição
Uma rotação é uma transformação geométrica em que todos os pontos de uma figura rodam em torno de um ponto fixo, segundo uma determinada amplitude e um determinado sentido.
CentroPonto fixo da rotação.
AmplitudeMedida do ângulo de rotação.
SentidoHorário ou anti-horário.
ConservaçãoMantém forma e dimensão.
Rotação: centro, amplitude e sentido
A rotação de centro O e amplitude 90° transforma cada ponto da figura num ponto à mesma distância de O, rodado 90° no sentido anti-horário.
🔬 Simulador - Rotação de centro C
90°
🔵 Arrasta C - muda o centro de rotação🔵 Arrasta A - move o girassol original
Altera o ângulo e arrasta C para explorares a rotação.
🧭 Construção guiada — imagem de um ponto por rotação
Numa rotação, a distância ao centro mantém-se e a amplitude do ângulo define a posição da imagem.
90°Um quarto de volta.
180°Meia-volta.
270°Três quartos de volta.
360°Volta completa: a figura regressa à posição inicial.
Liga o centro O ao ponto A.
No centro O, constrói o ângulo com a amplitude e o sentido indicados.
Na nova semirreta, marca A' de modo que OA = OA'.
Confirma que só mudou a posição: a distância ao centro manteve-se.
🌹 Aplicação: Rosáceas com simetria de rotação
Numa rosácea com n elementos, o motivo repete-se por rotações sucessivas em torno do centro, com amplitude igual a:
360°n
Exemplo: n = 6 Amplitude = 360°6 = 60° 6 rotações de 60° reconstituem a figura.
Exemplo: n = 4 Amplitude = 360°4 = 90° 4 rotações de 90° reconstituem a figura.
Exemplo: n = 8 Amplitude = 360°8 = 45° 8 rotações de 45° reconstituem a figura.
Verifica sempre: n × amplitude = 360° É a condição para que a rosácea se "feche".
👉 Verifica se sabes - Rotação
Uma figura é rodada de 90° no sentido anti-horário em torno do centro O. Qual das afirmações é correta?
✅ Correto!
🌟 Muito bem! Numa rotação de centro O, cada ponto P roda para P' mantendo a distância OP = OP'.
A rotação é uma isometria - conserva comprimentos e amplitudes.
⚠️ Atenção (opção C): a forma da figura não muda - é precisamente isso que define uma isometria.
⚠️ Atenção (opção D): nas AE do 8.º ano, a amplitude é um valor positivo compreendido entre 0° e 360° (exclusive), indicando-se o sentido (horário ou anti-horário) separadamente. Amplitudes superiores a 360° corresponderiam a mais do que uma volta completa — o que não está contemplado nas transformações geométricas do 8.º ano.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
Uma figura é rodada 90° e depois mais 90°, sempre no sentido anti-horário, com o mesmo centro O. A que rotação única é equivalente esta composição?
✅ Correto! 90° + 90° = 180°.
🌟 Muito bem! Duas rotações com o mesmo centro compõem-se somando as amplitudes.
Passo 1 — soma das amplitudes: 90° + 90° = 180°.
Passo 2 — uma rotação de 180° (meia-volta) com centro O equivale a inverter a figura em relação a O.
Atenção (opção C): 360° seria a identidade (a figura regressa à posição inicial), o que precisaria de mais duas rotações de 90°.
↗️ Reflexão deslizante
Definição
Uma reflexão deslizante de eixo r e vetor u, não nulo e com a direção de r, é a composição de uma reflexão de eixo r com uma translação associada ao vetor u. A reflexão deslizante conserva comprimentos e amplitudes dos ângulos, mas inverte a orientação da figura.
Importante: o vetor deve ter a direção do eixo. A ordem das transformações pode ser reflexão seguida de translação, ou translação seguida de reflexão.
1.º passoRefletir a figura relativamente ao eixo.
2.º passoTransladar a imagem segundo o vetor paralelo ao eixo.
ResultadoA figura final é a imagem por reflexão deslizante.
PropriedadesConserva comprimentos e amplitudes dos ângulos, mas inverte a orientação da figura.
Reflexão deslizante: dois passos
Passo 1 - Reflexão da figura em relação ao eixo r. Passo 2 - Translação pelo vetor u, paralelo ao eixo r.
🔬 Simulador Canvas - Reflexão deslizante
🔵 Arrasta A - move a figura original🔴 Arrasta D ou E - muda o eixo r🟡 Arrasta a ponta do vetor u - muda o deslizamento
Reflete primeiro no eixo r e, de seguida, desliza segundo o vetor u, sempre paralelo ao eixo.
👉 Verifica se sabes - Reflexão deslizante
Numa reflexão deslizante de eixo r e vetor u, qual é a relação obrigatória entre u e r?
✅ Correto!
🌟 Muito bem! Por definição, o vetor u de uma reflexão deslizante tem a direção do eixo r.
Numa reflexão deslizante: 1.º refletes em relação a r; 2.º transladares pelo vetor u (paralelo a r).
A ordem das operações não altera o resultado final.
⚠️ Atenção (opção A): se o vetor fosse perpendicular, a transformação obtida seria uma reflexão simples, não uma reflexão deslizante.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
Numa reflexão deslizante, um aluno faz primeiro a translação e depois a reflexão. Outro aluno faz primeiro a reflexão e depois a translação. Os resultados são iguais?
✅ Correto! A ordem não altera o resultado.
🌟 Muito bem! Esta é uma propriedade fundamental da reflexão deslizante.
Dado que o vetor u é paralelo ao eixo r, as duas operações são independentes e comutam.
Resultado: reflexão ∘ translação = translação ∘ reflexão — a imagem final é sempre a mesma.
Atenção (opção C): se o vetor fosse perpendicular ao eixo, já não seria uma reflexão deslizante — seria apenas uma reflexão (com pré-translação diferente).
✨ Simetrias de figuras
Uma figura tem uma simetria quando, ao ser sujeita a uma transformação geométrica, fica invariante, isto é, coincide com a própria figura.
Definição
Diz-se que uma figura tem uma simetria quando uma isometria transforma a figura nela própria (a figura fica invariante). Os tipos de simetrias são: de reflexão, de rotação, de translação e de reflexão deslizante.
Simetria de translaçãoA imagem por uma translação de vetor não nulo coincide com a figura.
Simetria de reflexãoA imagem por reflexão coincide com a figura.
Simetria de rotaçãoA imagem por rotação coincide com a figura.
Simetria de reflexão deslizanteA imagem por reflexão deslizante coincide com a figura.
Padrão com múltiplas simetrias
Este padrão tem simetria de translação (vetor u), simetria de reflexão (eixos verticais e horizontal) e simetria de rotação de 180°.
👉 Verifica se sabes - Simetrias de figuras
Um polígono regular de n lados tem simetrias de rotação. Qual é a menor amplitude (não nula) de rotação que deixa o polígono invariante?
✅ Correto!
🌟 Excelente! A menor amplitude de rotação que deixa um polígono regular de n lados invariante é 360°n.
Por exemplo: um quadrado (n=4) tem simetria de rotação de 90°; um hexágono (n=6) tem de 60°.
No exemplo da jante de 5 raios do PDF: 360°5 = 72°.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
Quantas simetrias de rotação tem um triângulo equilátero (incluindo a de 360°)?
✅ Correto! O triângulo equilátero tem 3 simetrias de rotação.
🌟 Excelente! Um polígono regular de n lados tem exatamente n simetrias de rotação.
O triângulo equilátero tem n = 3, logo tem 3 simetrias de rotação.
As amplitudes são: 360°÷3 = 120°, depois 240° e 360°.
Atenção (opção D): 6 seria o número de simetrias de um hexágono regular, não de um triângulo.
🧩 Frisos
Definição
Um friso é uma figura que se mantém invariante por efeito de uma translação.
Num friso, existe um motivo que se repete indefinidamente ao longo de uma única direção.
ObrigatórioTodo o friso tem simetrias de translação.
Também pode terReflexão, rotação de 180° e reflexão deslizante.
Friso com simetria de translação
O motivo base repete-se indefinidamente numa única direção por translação associada ao vetor u. Esta é a propriedade fundamental de todo o friso.
🧩 Frisos: construção e simetrias
Observa o exemplo seguinte: a partir de um motivo, constrói-se um friso por repetição ao longo de uma direção. Depois identificam-se as simetrias presentes.
Nota teórica
Um friso é uma figura plana que se prolonga indefinidamente numa direção e que apresenta, obrigatoriamente, simetrias de translação. O motivo repete-se por deslocamento, sempre associado a um vetor não nulo.
Num friso também podem surgir outras simetrias, como reflexões, rotações de 180° e reflexões deslizantes. A análise deve começar pela identificação do vetor de translação e, depois, pela procura de eixos de reflexão, centros de rotação e possíveis deslizamentos.
De acordo com as Aprendizagens Essenciais: neste tópico pretende-se que construas frisos simples, identifiques simetrias de translação e de reflexão deslizante, relaciones a composição de translações com a adição de vetores e interpretes situações do mundo real onde aparecem padrões e simetrias.
👉 Verifica se sabes - Frisos
Qual das afirmações sobre frisos é sempre verdadeira?
✅ Correto!
🌟 Perfeito! A simetria de translação é a característica obrigatória de todo o friso.
É a própria definição de friso: uma figura que se mantém invariante por uma translação (de vetor não nulo).
Os frisos podem adicionalmente ter simetrias de reflexão, rotação (180°) ou reflexão deslizante - mas não necessariamente.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
Num friso com o motivo "p p p p p", que simetria adicional (além da translação) existe?
✅ Correto! Apenas simetria de translação.
🌟 Perfeito! A letra "p" não tem eixo de simetria nem simetria de rotação.
Reflexão vertical: "p" refletido verticalmente dá "q" — figura diferente. ✗
Reflexão horizontal: "p" refletido horizontalmente dá "b" — figura diferente. ✗
Rotação de 180°: "p" rodado 180° dá "d" — figura diferente. ✗
Conclusão: o friso "p p p p" é o tipo mais simples de friso — tem apenas simetria de translação.
🪞 Simetria de reflexão
Diz-se que uma figura tem simetria de reflexão quando a reflexão da figura sobre um eixo coincide com a própria figura.
0 eixosFiguras sem simetria de reflexão.
1 eixoAlgumas figuras têm apenas uma linha de simetria.
Vários eixosQuadrado e hexágono regular têm vários eixos.
Infinitos eixosO círculo tem infinitos eixos de simetria.
👉 Verifica se sabes - Simetria de reflexão
Quantos eixos de simetria de reflexão tem um hexágono regular?
✅ Correto!
🌟 Muito bem! Um polígono regular de n lados tem exatamente n eixos de simetria de reflexão.
Para o hexágono (n = 6): 3 eixos unem vértices opostos e 3 eixos unem pontos médios de lados opostos.
⚠️ Atenção (opção A): 3 seria o número de eixos de um triângulo equilátero.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
Quantos eixos de simetria de reflexão tem um quadrado?
✅ Correto! O quadrado tem 4 eixos de simetria.
🌟 Muito bem! Um polígono regular de n lados tem exatamente n eixos de simetria.
O quadrado tem n = 4, logo tem 4 eixos de simetria.
Quais são esses eixos? 2 eixos que ligam pontos médios de lados opostos (horizontal e vertical) + 2 diagonais.
Atenção (opção A): 2 eixos seria o número de simetrias de um retângulo (não quadrado) — as diagonais de um retângulo não são eixos de simetria.
🔄 Simetria de rotação
Uma figura tem simetria de rotação quando existe uma rotação, de ângulo não nulo e inferior a 360°, que transforma a figura nela própria.
CentroPonto em torno do qual se roda.
AmplitudeÂngulo da rotação.
Meia-voltaRotação de 180°.
OrdemNúmero de posições em que a figura coincide consigo própria numa volta completa.
👉 Verifica se sabes - Simetria de rotação
Uma figura tem simetria de rotação de 120° com centro O. Que outras amplitudes de rotação (inferiores a 360°) deixam a figura invariante?
✅ Correto!
🌟 Muito bem! Se uma figura tem simetria de rotação de 120°, então também tem de 240° (= 2 × 120°).
Num polígono de 3 lados (n=3): 360°3 = 120°. As amplitudes são 120° e 240°.
⚠️ Atenção (opção B): 90° e 180° são simetrias de figuras com 4 ou 2 posições de sobreposição, não de 3.
👉 Verifica se sabes — 2.ª questão
Qual é a menor amplitude de rotação (não nula) que deixa um quadrado invariante?
✅ Correto! A amplitude mínima é 90°.
🌟 Muito bem! Para um polígono regular de n lados, a amplitude mínima é 360°÷n.
O quadrado tem n = 4, logo a amplitude mínima é 360°÷4 = 90°.
As quatro simetrias de rotação do quadrado têm amplitudes: 90°, 180°, 270° e 360°.
Atenção (opção D): 120° = 360°÷3 é a amplitude mínima do triângulo equilátero, não do quadrado.
🎯 Módulo Prova Global
Exercícios retirados de Provas Nacionais e Testes Intermédios, de acordo com as Aprendizagens Essenciais de 2021. Os enunciados são transcritos na íntegra. As figuras são reproduzidas das provas originais. Apenas a ordem das opções de resposta foi reorganizada.
Exercício 1Prova de Aferição 8.º ano - 2023
A figura da direita é uma fotografia da fachada do Museu de Arte, Arquitetura e Tecnologia (MAAT), situado na frente ribeirinha da zona histórica de Belém, em Lisboa.
Na figura da esquerda, está representado um esquema com seis dos azulejos que compõem essa fachada. Cada um dos azulejos tem a forma de um trapézio.
Relativamente à figura da direita, sabe-se que todos os trapézios são iguais.
Assinala a opção que completa corretamente a afirmação seguinte.
O trapézio [LKMP] é a imagem do trapézio [ABCD] por uma
✅ Muito bem! Identificaste a translação correta.
🌟 Bom trabalho! Verificaste os pontos correspondentes.
Passo 2 - Todos se deslocam com a mesma direção, sentido e comprimento → é uma translação.
Passo 3 - O vetor que descreve o deslocamento é AL.
⚠️ Opções B e C - numa rotação de 180°, o centro fica entre as duas figuras. Confirma que não é o caso aqui.
Exercício 2Instrumento de Aferição Amostral 8.º ano - 2021
Na figura ao lado, está representado o retângulo [ADLI], decomposto em seis quadrados geometricamente iguais. Os triângulos [AEF] e [GKL] são geometricamente iguais, e os seus vértices são coincidentes com vértices de quadrados da figura.
Qual é a isometria que transforma o triângulo [AEF] no triângulo [GKL]?
✅ Correto! Identificaste a composição de translações.
🌟 Excelente! Percebeste que são necessárias duas translações encadeadas.
Passo 1 - A translação de vetor AF leva [AEF] para a posição intermédia [FJK].
Passo 2 - A translação de vetor KL leva [FJK] até [GKL].
Passo 3 - A composição é equivalente a uma translação de vetor AF + KL.
⚠️ Opções B e C - numa reflexão deslizante a figura inverte-se. [GKL] não é espelho de [AEF] → não é reflexão deslizante.
Exercício 3Prova de Matemática 9.º ano - 2021
A figura seguinte é uma fotografia do painel Começar do artista português Almada Negreiros, onde é possível observar uma sobreposição de traçados geométricos.
Na figura ao lado, está representada a estrela de cinco pontas inscrita numa circunferência, que se encontra na parte central do painel.
Sabe-se que:
a circunferência tem centro no ponto O;
os vértices A, B, C, D e E da estrela pertencem à circunferência;
os arcos AB, BC, CD, DE e EA são iguais.
Qual das isometrias seguintes transforma o triângulo [AGF] no triângulo [CHI]?
✅ Correto! Identificaste o eixo de reflexão.
🌟 Muito bem! Verificaste a equidistância ao eixo.
Passo 1 - Pontos correspondentes: A↔C, G↔H, F↔I.
Passo 2 - Cada par fica a igual distância da reta BO, sobre perpendiculares a BO → reflexão de eixo BO.
⚠️ Opções A e D - numa rotação a figura não se inverte lateralmente. Aqui há inversão → não é rotação.
Exercício 4Prova Final 3.º Ciclo - 2019, Época especial
O triângulo equilátero [ADJ] da figura ao lado está decomposto em nove triângulos geometricamente iguais.
Qual dos seguintes triângulos é a imagem do triângulo [ABE] pela translação de vetor HI?
✅ Muito bem!
🌟 Continua, estás a melhorar! Soubeste usar a equipolência.
Passo 1 - O segmento orientado [H,I] é equipolente aos segmentos orientados [A,B], [B,C] e [E,F].
Passo 2 - Aplica a cada vértice: A→B, B→C, E→F.
Passo 3 - A imagem de [ABE] é o triângulo [BCF].
⚠️ Opção D - [CDG] - seria a imagem de [BCF]. Não confundas translações sucessivas.
Exercício 5Prova Final 3.º Ciclo - 2019, 2.ª chamada
Na figura ao lado, estão representados os quadrados [ABCD] e [EFGH], sendo os vértices E, F, G e H os pontos médios dos lados do quadrado [ABCD].
Qual dos seguintes é o vetor soma BF + EH?
✅ Correto! Aplicaste a regra do triângulo.
🌟 Bom trabalho! Identificaste o segmento orientado equipolente.
Passo 1 - O segmento orientado [E,H] é equipolente ao segmento orientado [F,G] (mesmo comprimento, direção e sentido).
Passo 2 - BF + EH = BF + FG.
Passo 3 - Pela regra do triângulo: BF + FG = BG.
⚠️ Opção D - BH - H é o ponto médio do lado inferior; G é o ponto médio do lado direito. São pontos diferentes!
Exercício 6Prova Final 3.º Ciclo - 2019, 1.ª chamada
Na figura ao lado, está representado um padrão formado por losangos geometricamente iguais.
Os pontos A, B, C, D e E são vértices de losangos.
Os vetores u e v estão representados sobre lados de losangos e têm comprimento igual ao dos lados dos losangos.
Qual é a imagem do ponto E pela translação de vetor u + v?
✅ Correto! Usaste a regra do paralelogramo.
🌟 Muito bem! Decomposte a soma em dois passos.
Passo 1 - E + u = B.
Passo 2 - B + v = C.
Passo 3 - Logo, E + (u + v) = C.
⚠️ Opção B - Ponto A - A seria o resultado de D + (u + v). Confirma o ponto de partida.
Exercício 7Prova Final 3.º Ciclo - 2018, Época especial
Na figura ao lado, está representado um painel formado por seis azulejos quadrados todos iguais. Em cada azulejo pintou-se um quadrado cinzento cujas diagonais são paralelas aos lados do azulejo e se intersectam no centro deste.
Os quadrados cinzentos são geometricamente iguais e foram numerados de 1 a 6.
Qual é a imagem do quadrado 5 pela reflexão deslizante de eixo CD e vetor AB?
✅ Correto! Identificaste os dois passos.
🌟 Excelente raciocínio! Aplicaste reflexão e depois translação.
Passo 1 - Reflexão do quadrado 5 em relação ao eixo CD → imagem fica na posição do quadrado 2.
Passo 2 - Translação do quadrado 2 pelo vetor AB → quadrado 3.
⚠️ Opção A - Quadrado 4 - seria o resultado apenas da reflexão, sem o deslizamento. Não te esqueças da translação!
Exercício 8Prova Final 3.º Ciclo - 2018, 2.ª chamada
Na figura ao lado, está representada uma das versões da bandeira de Lisboa. Esta versão, com forma retangular, é composta por 8 triângulos retângulos geometricamente iguais.
Identifica, usando uma das letras da figura, a imagem do ponto E pela composta da translação TGE com a translação TEH.
✅ Correto! Seguiste bem as duas translações.
🌟 Muito bem! Acompanhaste o ponto ao longo das duas translações.
Passo 1 - TGE(E) = E + GE = E + EC = C.
Passo 2 - TEH(C) = C + EH = C + CD = D.
Passo 3 - A imagem final de E é o ponto D.
⚠️ Opção B - Ponto C - C é a imagem intermédia após a 1.ª translação. Falta aplicar a 2.ª translação!
Exercício 9Prova Final 3.º Ciclo - 2018, 1.ª chamada
Na figura ao lado, está representado o hexágono regular [ABCDEF].
Qual dos seguintes vetores é igual ao vetor soma AB + FE?
✅ Correto! Usaste bem a equipolência.
🌟 Bom trabalho! Identificaste o par de lados paralelos.
Passo 1 - No hexágono regular, os lados opostos são paralelos e iguais: o segmento orientado [F,E] é equipolente ao segmento orientado [B,C].
Passo 2 - AB + FE = AB + BC.
Passo 3 - Pela regra do triângulo: AB + BC = AC.
⚠️ Opção C - AD - AD é a diagonal maior do hexágono (comprimento 2× o lado). Diferente de AC.
Exercício 10Prova de Aferição 8.º ano - 2018
Na figura ao lado, está representado o quadrado [AEYU], decomposto em 16 quadrados geometricamente iguais.
Os pentágonos [BHLFG] e [NTXSR] são geometricamente iguais e têm os seus vértices coincidentes com vértices de quadrados da figura.
Qual das seguintes isometrias transforma o pentágono [BHLFG] no pentágono [NTXSR]?
✅ Correto! Identificaste a reflexão deslizante.
🌟 Excelente! Seguiste os dois passos com rigor.
Passo 1 - Reflexão de [BHLFG] em relação ao eixo KO → figura intermédia.
Passo 2 - Translação pelo vetor QS (paralelo ao eixo) → pentágono [NTXSR].
⚠️ Opção A - numa rotação de 180° a orientação conserva-se. Aqui há inversão → não é rotação.
⚠️ Opção D - a reflexão simples produziria a figura sem deslizamento.
Exercício 11Prova Final 3.º Ciclo - 2017, Época especial
Na figura seguinte, está representado um esquema de parte de um pavimento que pode ser encontrado numa cidade portuguesa.
Os polígonos que constituem o esquema são geometricamente iguais.
Os pontos A, B, C, D, E e F, assinalados na figura, são vértices desses polígonos, e a reta r é a mediatriz dos segmentos de reta [AD], [BE] e [CF].
Um dos pontos assinalados é a imagem do ponto D pela reflexão deslizante de eixo r e vetor EF.
Identifica esse ponto.
✅ Correto! Seguiste bem os dois passos.
🌟 Muito bem! Identificaste a sequência reflexão → translação.
Passo 1 - Reflexão do ponto D em relação ao eixo r → imagem é o ponto A.
Passo 2 - Translação do ponto A pelo vetor EF → imagem é o ponto B.
⚠️ Opção C - Ponto A - esse ponto é a imagem apenas pela reflexão, sem o deslizamento. Falta a translação!
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📊 Progresso por Módulo
📋 O que rever antes do próximo exercício
📐 VetoresDireção, sentido, comprimento e segmentos orientados equipolentes.
➡️ TranslaçãoVerificar se todos os pontos usam o mesmo vetor.
🪞 ReflexãoO eixo é a mediatriz de [PP']. Verificar perpendicularidade.
↗️ Ref. deslizanteO vetor é paralelo ao eixo. Aplica reflexão e depois translação.
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